ИГУ - «Известия Иркутского государственного университета»

«Известия Иркутского государственного университета»

Журнал ИГУ

Список выпусков > Серия «Математика» . 2015. Том 11

Применение численных методов для уравнений Вольтерра I рода, возникающих в обратной граничной задаче теплопроводности

Автор(ы)
С. В. Солодуша

Аннотация

В прикладных задачах, связанных с исследованием нестационарных тепловых процессов, довольно часто возникает ситуация, когда невозможно осуществить прямые измерения требуемой физической величины и ее характеристики восстанавливаются по результатам косвенных измерений. При этом единственный путь отыскания требуемых значений связан с решением обратной задачи теплопроводности с исходными данными, известными только на части границы. Подобного рода задачи возникают не только при исследовании тепловых процессов, но и при исследовании процессов диффузии, изучении свойств материалов, связанных с тепловыми характеристиками. Статья посвящена численному решению уравнений Вольтерра I рода, полученных в результате применения интегральных преобразований Лапласа для решения уравнения теплопроводности. Работа состоит из введения и трех разделов. В первых двух разделах рассматривается специфика ядер из соответствующих интегральных уравнений. Указаны особенности их вычислений при выполнении операций машинной арифметики над вещественными числами с плавающей точкой. На тестах проиллюстрированы типовые случаи систематического накопления ошибок. В третьем разделе приведены результаты вычислительных алгоритмов, основанных на product integration method и квадратуре средних прямоугольников. Критериями выбора данных методов для решения интегральных уравнений Вольтерра I рода стали простота реализации вычислительной процедуры и возможность получения приближенного решения с погрешностью второго порядка по шагу сетки при точно заданных исходных данных. С целью проверки эффективности разностных методов приведены результаты тестовых расчетов.

Ключевые слова
обратная граничная задача теплопроводности, интегральные уравнения Вольтерра первого рода, численные методы

УДК
517.968

Литература

1. Yaparova N. M. Numerical methods for solving a boundary value inverse heatconduction problem / N. M. Yaparova // Inverse Problems in Science andEngineering. – 2014. – Vol. 22, N. 5. – P. 832-847.

2. Идентификация математических моделей теплопереноса в разлагающихся материалах / О. М. Алифанов, С. А. Будник, А. В. Ненарокомов, А. В. Нетелев// Тепловые процессы в технике. – 2011. – № 8. – С. 338-347.

3. Модель роста нанокристаллов в аморфном сплаве / П. А.Гамов, А. Д. Дрозин,М. В. Дудоров, В. Е. Рощин // Металлы. – 2012. – № 6. – С. 101-106.

4. Короткий А. И. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции высоковязкой жидкости / А. И. Короткий, Д. А. Ковтунов //Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2006. – Т. 12, № 2. – С. 88-97.

5. Балабанов П.В. Математическое моделирование теплопереноса в процессе хемосорбции / П. В. Балабанов, С. В. Пономарев, А. В. Трофимов // Вестн.ТГТУ. – 2008. – Т. 14, № 2. – С. 334–341.

6. Beilina L. Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient InverseProblems / L. Beilina, M.V. Klibanov. – N. Y. : Springer, 2012.

7. Kabanikhin S. I. Inverse and Ill-Posed Problems. Theory and Applications / S. I.Kabanikhin. – Germany : De Gruyter, 2011.

8. Brunner H. The Numerical Solution of Volterra Equations / H. Brunner, P. J. vander Houwen. – North-Holland, Amsterdam, 1986.

9. Brunner H. Collocation methods for Volterra integral and related functionaldifferential equations / H. Brunner. – N. Y. : Cambridge Univ. Press, 2004.

10. Верлань А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А.Ф. Верлань, В. С. Сизиков. – Киев : Наук. думка, 1986.

11. Апарцин А. С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы / А. С. Апарцин. – Новосибирск : Наука, 1999.

12. Solodusha S. V. Numerical solution of the Volterra equations of the first kindthat appear in an inverse boundary-value problem of heat conduction / S. V.Solodusha, N. M. Yaparova // to appear in Numerical Analysis and Applications,http://arxiv.org/abs/1407.1678 (date of access: 01.11.2014).

13. Калиткин Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. – М. : Наука, 1978.

14. Мокрый И. В. Основные механизмы возникновения вычислительной ошибкипри компьютерных расчетах / И. В. Мокрый, О. В. Хамисов, А. С. Цапах // Материалы IV Всерос. конф. «Проблемы оптимизации и экономическиеприложения». – Омск : Наследие, 2009. – С. 185.

15. Linz P. Product integration method for Volterra integral equations of the first kind/ P. Linz // BIT. – 1971. – Vol. 11. – P. 413–421.

16. Geng F. Z. Analytical Approximation to Solutions of Singularly PerturbedBoundary Value Problems / F. Z. Geng, M. G. Cui // Bulletin of the MalaysianMathematical Sciences Society. –2010. – Vol. 33, N 2. – P. 22–232.