ИГУ - «Известия Иркутского государственного университета»

«Известия Иркутского государственного университета»

Журнал ИГУ

Список выпусков > Серия «Математика» . 2015. Том 11

О построении тепловой волны для нелинейного уравнения теплопроводности в симметричном случае

Автор(ы)
А. Л. Казаков, П. А. Кузнецов, А. А. Лемперт

Аннотация

Рассматривается нелинейное параболическое уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными, которое при некоторых дополнительных предположениях может быть интерпретировано как нелинейное уравнение теплопроводности (фильтрации) в случае, когда искомая функция зависит от двух независимых переменных: времени и расстояния до начала координат. Данное уравнение имеет многочисленные приложения в механике сплошной среды, из которых одним из наиболее интересных, помимо, собственно, моделирования распространения тепла, является математическое описание фильтрации идеального политропного газа в пористой среде (в англоязычной литературе за ним закрепилось название «the porous medium equation»). Авторы исследуют специальный класс решений, которые в литературе обычно именуются «тепловыми волнами». Их особенностью является то, что они «сшиты», из двух решений, непрерывно состыкованных между собой, одно из них является тривиальным, а второе - неотрицательным. На линии стыковки, именуемой тепловым фронтом (или фронтом фильтрации), возможен разрыв производных, т.е. гладкость решения, вообще говоря, нарушается. Наиболее естественной задачей, для которой характерны подобного рода решения, является, так называемая «задача А. Д. Сахарова об инициировании тепловой волны». Для указанной задачи в статье построены новые решения в виде кратных рядов по степеням физических переменных, коэффициенты которых определяются при решении трехдиагональных систем линейных алгебраических уравнений. При этом элементы матриц систем зависят от их порядка, и не выполняется условие диагонального преобладания. Для коэффициентов рядов получены рекуррентные формулы.

Ключевые слова
дифференциальные уравнения с частными производным, нелинейная теплопроводность, тепловая волна, степенной ряд

УДК
517.95

Литература

1. Баренблатт Г. И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г. И.Баренблатт, В. М. Ентов, В. М. Рыжик. – М. : Недра, 1972. – 288 с.

2. Баутин С. П. Аналитическая тепловая волна / С. П. Баутин. – М. : Физматлит,2003. – 88 с.

3. Баутин С. П. Обобщeнная задача Коши и ее приложения / С. П. Баутин, А.Л. Казаков. – Новосибирск, 2006. – 397 с.

4. Зельдович Я. Б. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры / Я. Б. Зельдович, А. С. Компанеец // Сборник,посвященный 70-летию А.Ф. Иоффе. – 1950. – С. 61–71.

5. Казаков А. Л. Об одной краевой задаче для нелинейного уравнения теплопроводности в случае цилиндрической и сферической симметрии / А. Л. Казаков,П. А. Кузнецов // Вестник УрГУПС. – 2013. – № 4. – C. 4–10.

6. Казаков А. Л. Об одной краевой задаче для нелинейного уравнения теплопроводности в случае двух пространственных переменных / А. Л. Казаков, П. А.Кузнецов // Сиб. журн. индустр. математики. – 2014. – С. 46–54.

7. Казаков А. Л. Об одной краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в сферических координатах / А. Л. Казаков, П. А.Кузнецов, Л. Ф. Спевак // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. –2014. – Т. 20, № 1. – С. 119–129.

8. Казаков А. Л. Аналитическое и численное исследование одной краевой задачинелинейной фильтрации с вырождением / А. Л. Казаков, А. А. Лемперт //Вычисл. технологии. – 2012. – Т. 17, № 1. – С. 57–68.

9. Казаков А. Л. О существовании и единственности решения краевой задачи дляпараболического уравнения нестационарной фильтрации / А. Л. Казаков, А.А. Лемперт // Прикл. механика и техн. физика. – 2013. – Т. 54, № 2(318). – С.97–105.

10. Казаков А. Л. Методы граничных элементов и степенных рядов в одномерныхзадачах нелинейной фильтрации / А. Л. Казаков, Л. Ф. Спевак // Изв. Иркут.гос. ун-та. Сер. Математика. – 2012. – Т. 5, № 2. – С. 2–17.

11. Кузнецов П. А. О краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнениятеплопроводности с данными на замкнутой поверхности / П. А. Кузнецов //Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2014. – Т. 9. – С. 61–74.

12. Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболическоготипа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. – М. : Наука,1967. – 736 с.

13. Лейбензон Л. С. Собрание трудов. Т. 2. Подземная газогидродинамика / Л.С. Лейбензон. – М. : Изд-во АН СССР, 1953. – 544 с.

14. Олейник О. А. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации / О. А. Олейник, А. С. Калашников, Юй-линь Чжоу //Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1958. – Т. 22, вып. 5. – С. 667–704.

15. Полянин А. Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения / А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев. – М. : Физматлит, 2002.– 432 с.

16. Рудых Г. А. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейнойдиффузии / Г. А. Рудых, Э. И. Семенов // Мат. заметки. – 2000. – Т. 67, № 2.– С. 250–256.

17. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика / А. Ф. Сидоров. –М. : Физматлит, 2001. – 576 с.

18. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А.Самарский. – М. : Изд-во МГУ, 1999. – 798 с.

19. Vazquez J. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory / J. Vazquez //Oxford: Clarendon Press, 2007. 648 p.

20. Kazakov A. Numerical and analytical studies of a nonlinear parabolic equationwith boundary conditions of a special form / A. Kazakov, L. Spevak // AppliedMathematical Modelling. – 2013. – Vol. 37, N 10-11. – P. 6918–6928.