ИГУ - «Известия Иркутского государственного университета»

«Известия Иркутского государственного университета»

Журнал ИГУ

Список выпусков > Серия «Математика» . 2015. Том 13

Метод обобщенной интегральной направляющей функции в задаче о существовании периодических решений дифференциальных включений

Автор(ы)
С. В. Корнев

Аннотация

В настоящей работе предлагаются новые методы решения периодической задачи для нелинейного объекта, описываемого дифференциальным включением следующего вида:

x' (t) ∈ F(t, x(t)).

В первой части работы предполагается, что многозначное отображение F : R × Rn ⊸ Rn имеет выпуклые компактные значения, удовлетворяет верхним условиям Каратеодори, условию подлинейного роста и T -периодично по первому аргументу. При сделанных предположениях определен замкнутый мультиоператор суперпозиции PF : C([0, T];Rn) → P(L1([0, T];Rn)), сопоставляющий каждой функции x(·)множество всех суммируемых сечений мультифункции F(t, x(t)). Во второй части работы предполагается, что F : R × Rn ⊸ Rn является нормальным мультиотображением с компактными значениями, удовлетворяющим условию T -периодичности по первому аргументу. Заметим, что класс нормальных мультиотображений достаточно обширен. В него входят, например ограниченные почти полунепрерывные снизу мультиотображения с компактными значениями. В обоих случаях для исследования рассматриваемой задачи применяется обобщенная интегральная направляющая функция. Существенным развитием понятия направляющей функции является тот факт, что основное условие направляемости предполагается выполненным, во-первых, в интегральной форме; во-вторых, в области, определяемой по самой направляющей функции; в-третьих, не обязательно для всех суммируемых сечений мультиоператора суперпозиции. Применение теории степени совпадения пары отображений и теории многозначных отображений позволяет установить разрешимость рассматриваемой периодической задачи.

Ключевые слова
дифференциальное включение, интегральная направляющая функция, периодические решения, степень совпадения

УДК
517.911.5

Литература

1. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский. – Изд. 2-е, испр. и доп. – М. : Либроком, 2011. – 226 с.

2. Корнев С. В. О некоторых вариантах теории топологической степени для невыпуклозначных мультиотображений / С. В. Корнев, В. В. Обуховский // Тр. мат. факультета. – 2004. – Вып. 8. – С. 56–74.

3. Корнев С. В. О локализации метода направляющих функций в задаче о периодических решениях дифференциальных включений / С. В. Корнев, В. В. Обуховский // Изв. вузов. Математика. – 2009. – № 5. – С. 23–32.

4. Корнев С. В. Негладкие интегральные направляющие функции в задачах о вынужденных колебаниях / С. В. Корнев // Автоматика и телемеханика. – 2015. – № 9. – С. 31–43.

5. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. – M. : Наука, 1966. – 332 с.

6. Красносельский М. А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, А. И. Перов // Докл. АН СССР. – 1958. – Т. 123, № 2. – С. 235–238.

7. Финогенко И. А. О дифференциальных уравнениях с разрывной правой частью / И. А. Финогенко // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2010. – Т. 3, № 2. – С. 88–102.

8. Bressan A. Upper and lower semicontinuous differential inclusions: A unified approach / A. Bressan // Nonlinear Controllability and Optimal Control / H. Sussmann (ed.). – N. Y. : Dekker, 1990. – P. 21–31.

9. Bressan A. Differential inclusions without convexity: A survey of directionally continuous selections / A. Bressan // Proceedings of the First World Congress of Nonlinear Analyst. Tampa, Florida, 1992, Lakshmikantham, V., ed., Walter de Gruyter. – 1996. – P. 2081–2088.

10. Fonda A. Guiding functions and periodic solutions to functional differential equations / A. Fonda // Proc. Amer. Math. Soc. – 1987. – Vol. 99, N 1. – P. 79–85.

11. G´orniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings / L. G´orniewicz. – Berlin : Springer, 2006. – 556 p.

12. Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. – Berlin : N. Y. : Walter de Gruyter, 2001. – 231 p.

13. Kisielewicz M. Differential inclusions and optimal control / M. Kisielewicz. – Kluwer, Dordrecht : PWN Polish Scientific Publishers, Warsaw, 1991.

14. Kornev S. On asymptotics of solutions for a class of functional differential inclusions / S. Kornev, V. Obukhovskii, J. C. Yao // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization. – 2014. – Vol. 34, issue 2. – P. 219–227.

15. Mawhin J. L. Topological degree methods in nonlinear boundary value problems / J. L. Mawhin // CBMS Regional Conf. Ser. in Math., Amer. Math. Soc. Providence, R.I. – 1977. – N 40.

16. Mawhin J. Guiding-like functions for periodic or bounded solutions of ordinary differential equations / J. Mawhin, James R. Ward Jr. // Discrete and continuous dynamical systems. – 2002. – Vol. 8, N 1. – P. 39–54.

17. Method of guiding functions in problems of nonlinear analysis. Lecture Notes in Math. Vol. 2076. / V. Obukhovskii, P. Zecca, N. V. Loi, S. Kornev. – Berlin : Springer, 2013. – 177 p.

18. Pruszko T. A coincidence degree for L-compact convex-valued mappings and its application to the Picard problem for orientor fields / T. Pruszko // Bull. Acad. pol. sci. S´er. sci math. – 1979. – Vol. 27, N 11–12. – P. 895–902.

19. Pruszko T. Topological degree methods in multi-valued boundary value problems / T. Pruszko // Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. – 1981. – Vol. 5, N 9. – P. 959–970.

20. Tarafdar E. On the existence of solutions of the equation Lx ∈ Nx and a coincidence degree theory / E. Tarafdar, S. K. Teo // J. Austral. Math. Soc. – 1979. – Vol. A28, N 2. – P. 139–173.

21. Tolstonogov A. Differential inclusions in a Banach space / A. Tolstonogov. – Kluwer Academic Publishers, 2000. – 302 p.