ИГУ - «Известия Иркутского государственного университета»

«Известия Иркутского государственного университета»

Журнал ИГУ

Список выпусков > Серия «Математика» . 2015. Том 13

Формула Эйлера – Маклорена для рационального параллелотопа

Автор(ы)
О. А. Шишкина

Аннотация

Суммирование функций дискретного аргумента относится к числу классических задач исчисления конечных разностей, например, сумму степеней последовательных натуральных чисел вычислил еще Я. Бернулли (1713), и его исследования дали толчок к возникновению целого ряда разделов комбинаторного анализа. Эйлер (1733) и независимо от него Маклорен (1738) нашли формулу, в которой искомая сумма выражается через производные и интеграл от заданной функции. Ее строгое доказательство дал Якоби (1834).

Функцию нескольких дискретных аргументов представляется естественным суммировать по целым точкам рациональных многогранников. Известны аналоги формулы Эйлера – Маклорена в задаче суммирования многочлена по произвольному рациональному многограннику и в задаче суммирования функции экспоненциального типа по целым точкам рационального симплекса.

В данной статье получен многомерный аналог формулы Эйлера – Маклорена для задачи суммирования целых функций экспоненциального типа по целым точкам рациональных параллелотопов, построенных на образующих унимодулярного рационального конуса. Требование на унимодулярность конуса является существенным, так как при выбранном методе доказательства позволяет сделать замену переменных при переходе от параллелотопа к параллелепипеду. При этом реализован подход Эйлера, основанный на понятии дискретной первообразной функции. А именно, используя методы теории многомерных разностных уравнений, вводится понятие обобщенной дискретной первообразной, а методы теории дифференциальных операторов бесконечного порядка позволяют построить необходимый для многомерного аналога формулы Эйлера – Маклорена оператор и обосновать сходимость функционального ряда, который участвует в этой формуле.

Ключевые слова
унимодулярный конус, рациональный параллелотоп, суммирование функций, многомерные разностные уравнения, дифференциальные операторы бесконечного порядка

УДК
517.55+517.96

Литература

1. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гельфонд. – М. : Наука, 1967.

2. Дубинский Ю. А. Задача Коши в комплексной области / Ю. А. Дубинский. – М. : Изд-во МЭИ, 1996.

3. Некрасова Т. И. Задача Коши для многомерного разностного уравнения в конусах целочисленной решетки / Т. И. Некрасова // Журн. Сиб. федер. ун-та. – 2012. – Т. 5, вып. 4. – С. 576–580.

4. Некрасова Т. И. Достаточные условия алгебраичности производящих функций решений многомерных разностных уравнения / Т. И. Некрасова // Изв. Иркут. гос. ун-та. – 2013. – Т. 6, № 3. – С. 88–96.

5. Abramov S. A. On the summation of rational functions / S. A. Abramov // USSR Comput. Math. Math. Phys. – 1971. – Vol. 11, N 4. – P. 324–330.

6. Bousquet-M´elou M. Linear recurrences with constant coefficients: the multivariate case / M. Bousquet-Melou, M. Petcovˇsek // Discrete Mathematics. – 2000. – Vol. 225. – P. 51–75.

7. Brion M., Berline N. Local Euler-Maclaurin formula for polytopes / M. Brion, N. Berline // Moscow Mathematical Society Journal. – 2007. – Vol. 7. – P. 355–383.

8. Brion M., Vergne M. Residue formulae, vector partition functions and lattice points in rational polytopes / M. Brion, M. Vergne // Journal of the American Mathematical Society. – 1997. – Vol. 10, N 4. – P. 797–833.

9. Hardy G. Divergent series / G. Hardy. – London : Oxford University Press, 1949.

10. Leinartas E. K. Multiple Laurent series and fundamental solutions of linear difference equations / E. K. Leinartas // Siberian Mathematical Journal. – 2007. – Vol. 48, N 2. – P. 268–272.

11. Polyakov S. A. Indefinite summation of rational functions with factorization of denominators / S. A. Polyakov // Programming and Computer Software. – 2011. – Vol. 37, N 6. – P. 322–325.

12. Shishkina O. A. The Euler – Maclaurin Formula and Differential Operators of Infinite Order / O. A. Shishkina // Journal of Siberian Federal University, Mathematics & Physics. – 2015. – Vol. 8, N 1. – P. 86–93.