ИГУ - «Известия Иркутского государственного университета»

«Известия Иркутского государственного университета»

Журнал ИГУ

Список выпусков > Серия «Математика» . 2014. Том 10

Устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений со случайными начальными данными

Автор(ы)
Д. Я. Киселевич, Г. А. Рудых

Аннотация

В работе рассматривается нелинейная неавтономная система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и соответствующее ей уравнение Лиувилля. Начальные данные системы ОДУ случайны и лежат в заданной области с известным начальным законом распределения. Для нелинейной неавтономной системы ОДУ вводится понятие ε-статистической устойчивости решения, которое позволяет исследовать поведение решения системы ОДУ с недетерменированными начальными данными. Такое исследование проводится с использованием функции плотности вероятности распределения ансамбля изображающих точек системы ОДУ. Понятие ε-статистической устойчивости решения позволяет оперировать сразу с множеством траекторий движения системы ОДУ, начальные значения которой лежат в заданной области, а также для проверки критерия ε-статистической устойчивости достаточно одной функции плотности вероятности распределения ансамбля изображающих точек Гиббса системы ОДУ, которая хоть и удовлетворяет уравнению в частных производных, но это уравнение линейное, а кроме того ищется не общее решение, а решение задачи Коши. Для введения понятия ε-статистической устойчивости решения необходимо, чтобы нелинейная система ОДУ имела решение в целом, т. е. чтобы траектории системы не уходили в бесконечность за конечное время. В общем случае ε-статистическая устойчивость не эквивалентна асимптотической устойчивости решения по Ляпунову. Однако между этими понятиями имеется тесная связь, позволяющая сформулировать необходимое и достаточное условие ε-статистической устойчивости решения для линейной автономной системы ОДУ и достаточное условие для линейной неавтономной системы ОДУ (для однородного и неоднородного случаев). В процессе исследования дисперсии нелинейной неавтономной системы ОДУ было получено необходимое и достаточное условие ε-статистической устойчивости решения системы ОДУ. Все полученные результаты проиллюстрированы на содержательных примерах.

Ключевые слова
нелинейная система ОДУ, уравнение Лиувилля, ансамбль Гиббса, функция плотности вероятности распределения, статистическая устойчивость решения

УДК
517.938

Литература

1. Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики / Дж. В. Гиббс. – М. : Л. : Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1946. – 203 с.

2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. – 2-е изд. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 1998. – 480 с.

3. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. – М. : Наука, 1966. – 331 c.

4. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения / Г. А. Леонов. – СПб. : Изд-во С.-Петербур. ун-та, 2004. – 144 с.

5. Рудых Г. А. Свойства интегральной кривой и решения неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Г. А. Рудых, Д. Я. Киселевич // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та, 2012. – № 2. – C. 7–17. – (Физико-математическиенауки).

6. Steeb W.H Generalized Liouville equation, entropy, and dynamic systems containing limit cycles / W. H. Steeb // Physica. – 1979. – Vol. 95. – P. 181–190.