ИГУ - «Известия Иркутского государственного университета»

«Известия Иркутского государственного университета»

Журнал ИГУ

Список выпусков > Серия «Математика» . 2014. Том 10

О разрешимости вырожденных линейных эволюционных уравнений с эффектами памяти

Автор(ы)
В. Е. Федоров, Л. В. Борель

Аннотация

Методами теории вырожденных полугрупп операторов вырожденное линейное эволюционное уравнение с памятью в банаховом пространстве сведено к системе двуху равнений, одно из которых разрешено относительно производной, а другое имеет при производной нильпотентный оператор. Задача с заданной историей для разрешенного относительно производной уравнения с памятью редуцирована к задаче Коши для стационарной системы уравнений в более широком пространстве. Это позволило получить методами классической теории полугрупп операторов условия существования единственного решения задачи, в том числе решения повышенной гладкости. В итоге была исследована однозначная разрешимость задачи с заданной историей для вырожденного линейного эволюционного уравнения с памятью при некоторых ограничениях на ядро интегрального оператора памяти. Кроме того, была исследована аналогичная задача с условием типа обобщенного условия Шоуолтера – Сидорова на историю системы. Полученные результаты использованы при исследовании начально-краевой задачи для линеаризованной интегро-дифференциальной системы уравнений Осколкова, описывающей динамику жидкости Кельвина – Фойгта высокого порядка.

Ключевые слова
уравнение с памятью, вырожденное эволюционное уравнение, полугруппа операторов, начально-краевая задача, жидкость Кельвина – Фойгта

УДК
517.95

Литература

1. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. – М. : Мир, 1972. – 740 с.

2. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизохата. – М. : Мир, 1977. – 504 с.

3. Осколков А. П. Начально краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина – Фойгта и жидкостей Олдройта / А. П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – Т. 179. – С. 126–164.

4. Сидоров Н. А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н. А. Сидоров // Мат. заметки. – 1984. – Т. 25, № 4. – С. 569–578.

5. Стахеева О. А. Локальная разрешимость одного класса линейных уравнений с памятью / О. А. Стахеева // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2009. – Вып. 11, № 20 (158). – C. 70–76.

6. Фалалеев М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2012. – Т. 5, № 2. – С. 90–102.

7. Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные операторы в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. вузов. Математика. – 2011. – № 10. – С. 68–79.

8. Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствахи их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Вестн. Южно-Урал. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. – 2010. – Вып. 6, № 35 (211). – C. 104–109.

9. Фалалеев М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствахи их приложения в математической теории упругости / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2011. – Т. 4, № 1. – С. 118–134.

10. Федоров В. Е. Неоднородные линейные уравнения соболевского типа с запаздыванием / В. Е. Федоров, Е. А. Омельченко // Сиб. мат. журн. – 2012. – Т.53, № 2. – С. 418–429.

11. Федоров В. Е. Линейные уравнения соболевского типа с интегральным оператором запаздывания / В. Е. Федоров, Е. А. Омельченко // Изв. вузов. Математика. – 2014. – № 1. – С. 71–81.

12. Федоров В. Е. О разрешимости линейныху равнений соболевского типа с эффектом памяти / В. Е. Федоров, О. А. Стахеева // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ. – Новосибирск : Изд-во Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2010. – С. 245–261.

13. Giorgi C. Asymptotic behavior of a semilinear problem in heat conduction with memory / C. Giorgi, A. Marzocchi // Nonlinear Differ. Equ. Appl. – 1998. – Vol. 5. – P. 333–354.

14. Gurtin M. E. A general theory of heat conduction with finite wave speeds / M. E. Gurtin, A. C. Pipkin // Arch. Rational Mech. Anal. – 1968. – Vol. 31. – P. 113–126.

15. Lyapunov – Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. – Dordrecht : Kluwer Acad. Publ., 2002. – 548 p.

16. Robust exponential attractors for a family of nonconserved phase-field systems with memory / S. Gatti, M. Grasselli, V. Pata, M. Squassina // Discrete and Continuous Dynamical Systems. – 2005. – Vol. 12, N 5. – P. 1019–1029.

17. Showalter R. E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differentialequations of mixed type / R. E. Showalter // SIAM J. Math. Anal. – 1975. – Vol. 6, N 1. – P. 25–42.

18. Sviridyuk G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. – Utrecht ; Boston : VSP, 2003. – 216+vii p.