ИГУ - «Известия Иркутского государственного университета»

«Известия Иркутского государственного университета»

Журнал ИГУ

Список выпусков > Серия «Математика» . 2014. Том 10

О порядке сингулярности обобщенного решения интегрального уравнения Вольтерра типа свертки в банаховых пространствах

Автор(ы)
С. С. Орлов

Аннотация

При изучении интегральных уравнений Вольтерра сверточного типа на полуоси с фредгольмовым оператором в главной части и операторнозначным ядром K = K(t) в банаховых пространствах естественным образом возникает задача построения обобщенного K(t)-жорданова набора. Исследование таких уравнений в условии полноты жордановой структуры впервые выполнено в работах Н. А. Сидорова, в которых решена проблема разрешимости рассматриваемых задач в классе непрерывных функций. Вопросам существования и единственности обобщенного решения (в классе распределений с ограниченным слева носителем) посвящен цикл работ М. В. Фалалеева. В них предложен подход, связанный с конструкцией фундаментальной оператор-функции — аналогом классического понятия фундаментального решения. Однако, применение техники указанных работ становится весьма затруднительным, когда ядро интегрального уравнения имеет нуль какого-либо порядка в точке t = 0. В этом случае неясно каким образом выстраивается обобщенная жорданова структура. Аналогичная проблема возникает при исследовании вырожденных линейных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с  дифференциальной частью высокого порядка, в которой отсутствует хотя бы одно слагаемое наивысшего порядка группы младших производных. Таким образом, вопрос о разрешимости вырожденных интегральных уравнений типа свертки с ядром, обладающим такой особенностью, остается открытым. Между тем к ним допускают редукцию краевые задачи, возникающие, например, в физике плазмы. Поэтому интерес к подобным математическим объектам вызван также их прикладной значимостью. В данной работе на примере интегрального уравнения специального вида исследован описанный феномен. Показано, что наличие в точке t = 0 нуля у ядра интегрального уравнения приводит к увеличению порядка сингулярности обобщенного решения. Установлена связь между кратностью нуля ядра в начальной точке и порядком сингулярности решения в классе распределений с ограниченным слева носителем. Доказана теорема о виде фундаментальной оператор-функции соответствующего интегрального оператора. На этой основе получены достаточные условия существования и единственности обобщенного решения. Приведены примеры, иллюстрирующие абстрактные результаты.

Ключевые слова
уравнение типа свертки, банахово пространство, фредгольмов оператор, жорданов набор, распределение, фундаментальная оператор-функция

УДК
517.968.22

Литература

1. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. – М. : Наука, 1969. – 528 с.

2. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. – М. : Наука, 1979. – 320 с.

3. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. – М. : Физматлит, 2007. – 736 с.

4. Орлов С. С. Обобщенные решения интегро-дифференциальныху равнений высоких порядков в банаховых пространствах/ С. С. Орлов. – Иркутск : Изд-во ИГУ, 2014. – 149 с.

5. Орлов С. С. О разрешимости интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с фредгольмовым оператором в главной части / С. С. Орлов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2012. – Т. 5, № 3. С. 73–93.

6. Сидоров Н. А. Обобщенные решения вырожденных дифференциальных и интегральных уравнений в банаховых пространствах/ Н. А. Сидоров, М. В. Фалалеев // Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. – Новосибирск : Наука, 1988. – С. 308–318.

7. Сидоров Н. А. Об одном классе уравнений Вольтерра с вырождением в банаховых пространствах / Н. А. Сидоров // Сиб. мат. журн. – 1983. – Т. 21, № 2. – С. 202–203.

8. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах/ М. В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. – 2000. – Т. 41, № 5. – С. 1167–1182.

9. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. – М. : Наука, 1965. – 328 с.

10. Falaleev M. V. Degenerate integro-differential operators in Banach spaces and their applications / M. V. Falaleev, S. S. Orlov // Russian Mathematics. – 2011. – Vol. 55, N 10. – P. 59–69.